Tính trực giao

Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L2 trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1:

∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}

với δmn là hàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu m ≠ n.

Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville

d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x ] P ( x ) = − λ P ( x ) , {\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}\right]P(x)=-\lambda P(x),}

với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1).

Tính đối xứng

Các đa thức Legendre thỏa mãn

P n ( − x ) = ( − 1 ) n P n ( x ) . {\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,}

Chuẩn hóa

Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là:

P n ( 1 ) = 1 {\displaystyle P_{n}(1)=1\,}

và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là:

P n ( − 1 ) = ( − 1 ) n {\displaystyle P_{n}(-1)=(-1)^{n}\,}

Tại 0:

P n ( 0 ) = 0 {\displaystyle P_{n}(0)=0\,}

nếu n là số nguyên lẻ.

Giá trị đạo hàm tại 1 là:

P n ′ ( 1 ) = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}\,}

Đệ quy

Đa thức Legendre thỏa mãn các liên hệ đệ quy:

( n + 1 ) P n + 1 = ( 2 n + 1 ) x P n − n P n − 1 {\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}}

và

x 2 − 1 n d d x P n = x P n − P n − 1 . {\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.}

và

( 2 n + 1 ) P n = d d x [ P n + 1 − P n − 1 ] . {\displaystyle (2n+1)P_{n}={d \over dx}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}